دیدی توی اینستاگرام یا گروه‌های تلگرامی، یک عکس می‌گذارند و می‌نویسند: “۹۹ درصد مردم اشتباه حل می‌کنند!”؟ بعد زیرش یک عبارت ساده مثل ? = 3 × 2 + 4 می‌بینیم. بخش کامنت‌ها تبدیل می‌شود به میدان جنگ! نصف مردم قسم می‌خورند جواب ۱۰ است، نصف دیگر با اطمینان و تعصب می‌گویند ۱۸! حتی گاهی ماشین‌حساب‌های قدیمی را عکس می‌گیرند که عدد ۱۸ را نشان می‌دهد تا حرفشان را ثابت کنند.

جالب اینجاست که هر دو گروه هم فکر می‌کنند حق با آن‌هاست و طرف مقابل “ریاضی بلد نیست”.

• دسته اول (طرفداران ۱۸): می‌گویند: “خب معلومه! ما از کلاس اول یاد گرفتیم از اول خط شروع کنیم. ۴ به علاوه ۲ میشه ۶، ضربدر ۳ میشه ۱۸. مگه فارسی نمی‌خونیم؟”
• دسته دوم (طرفداران ۱۰): می‌گویند: “نه خیر! قانون ریاضی اینه که اول ضرب کنی. اول ۲ رو در ۳ ضرب می‌کنیم (۶)، بعد با ۴ جمع می‌کنیم (۱۰).”

حق با کیست؟ اگر شما هم گاهی شک می‌کنید که اول باید ضرب کنید یا جمع، یا اگر وقتی به یک عبارت طولانی می‌رسید دست و پایتان را گم می‌کنید، اصلاً نگران نباشید. این یکی از آن موضوعاتی است که حتی دانشجویان مهندسی هم گاهی در آن “سوتی” می‌دهند!

اینجاست که پای «اولویت‌های ریاضی» (Order of Operations) وسط می‌آید؛ همان قانون نانوشته‌ای که باعث می‌شود مهندسان در سراسر دنیا وقتی پلی را طراحی می‌کنند، آن پل روی سر مردم خراب نشود! اگر این قانون نبود، یک مهندس سازه در ژاپن یک عدد به دست می‌آورد و مهندس ناظر در ایران یک عدد دیگر، و فاجعه به بار می‌آمد.

در این مقاله مفصل از کاراتدریس، می‌خواهیم یک‌بار برای همیشه این “قلق” ریاضی را یاد بگیریم تا سر جلسه امتحان (مخصوصاً شب امتحان ریاضی) خیالتان راحت باشد و با اعتمادبه‌نفس تست بزنید.

چرا ریاضی “پلیس راهنمایی و رانندگی” لازم دارد؟

بیایید یک مثال ملموس بزنیم. تصور کنید سر یک چهارراه شلوغ، چراغ راهنمایی نباشد و هیچ پلیسی هم حضور نداشته باشد. هر ماشینی بخواهد زودتر برود؛ چه بلبشویی می‌شود! تصادف پشت تصادف. ریاضیات هم دقیقاً همین‌طور است. علائم ریاضی (ضرب، تقسیم، توان، جمع) مثل ماشین‌هایی هستند که پشت ترافیک مانده‌اند. اگر قانون نداشته باشیم، هرج‌ومرج می‌شود.

ریاضیدان‌ها قرن‌ها پیش دور هم جمع شدند و گفتند: “بیایید یک قانون جهانی بگذاریم که حق تقدم با کیست.” این قانون باعث می‌شود زبان ریاضی در تمام کهکشان یکسان باشد. چه شما در تهران باشید، چه در نیویورک و چه در کره ماه، 2 + 2 × 2 همیشه باید بشود 6.

سلسله مراتب قدرت در ریاضی (به زبان ساده و کاربردی)

بیایید خیلی پیچیده‌اش نکنیم و با کلمات قلمبه‌سلمبه گیج نشویم. در دنیای اعداد، زورِ بعضی‌ها بیشتر است. این یک سیستم “سلسله مراتبی” یا “پادشاهی” است. ترتیب نوبت از “زورگوترین” به “ضعیف‌ترین” این‌طوری است:

۱. پرانتزها؛ رئیس‌کل (The Boss)

هر جا پرانتز ( )، کروشه [ ] یا آکولاد { } دیدید، یعنی منطقه ممنوعه! این‌ها خط قرمز هستند. باید اولِ کار، آن‌ها را راه بیندازید. حتی اگر کل عبارت پر از ضرب و توان و جذر باشد، تا تکلیفِ چیزی که داخل پرانتز است روشن نشود، حق ندارید به بقیه دست بزنید. پرانتز می‌گوید: “اول داخل من را حل کن، بعد برو سراغ بقیه.”

• نکته خودمانی: اگر چندتا پرانتز تو در تو داشتید چه؟ تصور کنید مثل لایه‌های پیاز یا جعبه‌های کادو تو در تو هستند. باید از مغزِ آن شروع کنید (داخلی‌ترین پرانتز) و مرحله‌به‌مرحله بیایید بیرون.

۲. توان و رادیکال؛ بمب‌های انرژی

بعد از اینکه تکلیف پرانتزها روشن شد (یا اگر اصلا پرانتزی نداشتیم)، نوبتِ توان و جذر است. این‌ها عملیات‌های قدرتمندی هستند و زورشان از ضرب و جمع بیشتر است. مثلاً در عبارت 3 × 2^2، شما نمی‌توانید اول ۳ را در ۲ ضرب کنید! اول باید ۲ را به توان ۲ برسانید (۴) و بعد ضرب کنید.

۳. ضرب و تقسیم؛ دوقلوهای خطرناک (نکته انحرافی!)

اینجا دقیقاً همان‌جایی است که اکثر دانش‌آموزان نمره از دست می‌دهند و در دام طراحان سوال می‌افتند. یک قانون طلایی وجود دارد که باید با طلا بنویسید و به دیوار اتاق بزنید: ضرب و تقسیم هیچ برتری نسبت به هم ندارند! آن‌ها مثل دو برادر دوقلو هستند که زورشان دقیقاً برابر است.

پس اگر در یک سوال هم ضرب داشتیم هم تقسیم، چه کار کنیم؟ اول کدام را انجام دهیم؟ خیلی ساده: مثل فارسی نوشتن نه، مثل انگلیسی نوشتن! یعنی از چپ به راست حرکت می‌کنیم. در مسیر حرکت از چپ به راست، به هر کدام زودتر رسیدیم، اول آن را انجام می‌دهیم. (در بخش تمرین‌ها مثال می‌زنیم تا کامل جا بیفتد).

۴. جمع و تفریق؛ سربازان پیاده‌نظام

وقتی تکلیف همه (پرانتز، توان، ضرب، تقسیم) روشن شد و میدان خلوت شد، تازه نوبت جمع و تفریق می‌رسد. این دوتا هم مثل ضرب و تقسیم، هم‌زور هستند و هیچ‌کدام بر دیگری برتری ندارند. اینجا هم قانون «از چپ به راست» حکم‌فرماست.

تله‌های آموزشی و دام‌های تستی (خنثی‌سازی بمب!)

من در کلاس‌هایم زیاد می‌بینم که بچه‌ها با اینکه قانون اصلی را بلدند، باز هم در موارد خاص اشتباه می‌کنند. بیایید ۳ تا از بزرگترین “تله‌ها” را با هم خنثی کنیم.

تله‌ی اول: “اول ضرب، بعد تقسیم؟”

خیلی‌ها فکر می‌کنند چون در اسم روش (PEMDAS یا اولویت‌ها) معمولاً اول می‌گوییم ضرب، پس همیشه ضرب مقدم است. مثال: 12 ÷ 4 × 3

• اشتباه رایج: دانش‌آموز می‌گوید اول ضرب کنم (4×3=12)، بعد تقسیم کنم (12÷12=1). غلطه!
• راه درست: از چپ شروع کن. اول چی داری؟ تقسیم. پس اول تقسیم کن (12÷4=3)، حالا جواب رو ضرب کن (3×3=9). جواب درست ۹ است.

تله‌ی دوم: پرانتزهای نامرئی!

بعضی وقت‌ها طراح سوال پرانتز نمی‌گذارد، ولی شما باید “چشم بصیرت” داشته باشید! این‌ها کجا قایم شده‌اند؟

1. خط کسری: وقتی یک کسر بزرگ دارید (مثلاً 4+6 در صورت و 2 در مخرج)، انگار صورت و مخرجش داخل پرانتز هستند. اول باید صورت را کامل حل کنید (۱۰)، مخرج را هم کامل حل کنید، آخر سر تقسیم کنید (۱۰ تقسیم بر ۲ می‌شود ۵). نمی‌توانید همان اول ۶ را با ۲ ساده کنید!
2. زیر رادیکال: هر عبارتی زیر رادیکال بود، اول باید جمع و تفریقش تمام شود، بعد جذر بگیرید. مثلاً در √16+9 اول باید جمع کنید (۲۵) و بعد جذر بگیرید (۵). اگر جدا جذر بگیرید (۴+۳=۷) غلط می‌شود.

تله‌ی سوم: توان و اعداد منفی (این یکی خیلی مهم است!)

این نکته مخصوص دانش‌آموزان هفتم به بالاست. دقت کنید:

• (-3)^2 یعنی منفی سه ضربدر منفی سه = +9
• -3^2 یعنی منفیِ (سه به توان دو) = -9 می‌بینید؟ پرانتز اینجا زمین تا آسمان معنی را عوض می‌کند. در حالت دوم، توان فقط مال عدد ۳ است، نه علامت منفی.

کارگاه حل تمرین (قلم و کاغذ بردارید)

هیچ‌کس با خواندن کتاب شنا یاد نمی‌گیرد، ریاضی هم همین است. باید دست به قلم شوید. بیایید چند نمونه را با هم حل کنیم.

تمرین ۱: دست‌گرمی

10 - 3 × 2 + 8

من چطور حل می‌کنم؟ (بلند بلند فکر کنیم)

1. نگاه می‌کنم ببینم پرانتز یا توان دارم؟ نه، خبری نیست.
2. ضرب یا تقسیم دارم؟ بله، یک ضرب دارم (3 × 2). زورِ ضرب از جمع و تفریق بیشتر است.
3. پس اول ضرب را انجام می‌دهم: 6.
4. حالا عبارت من شده: 10 - 6 + 8.
5. حالا فقط جمع و تفریق مانده. قانون چی بود؟ چپ به راست.
6. 10 - 6 می‌شود 4.
7. 4 + 8 می‌شود ۱۲. تمام!

تمرین ۲: چالش پرانتز (مخصوص تیزهوشانی‌ها)

48 ÷ 2 (9 + 3)

این همان سوالی است که اینترنت را به هم ریخته! بیایید با قانون خودمان حل کنیم:

1. پرانتز: اولویت اول است. 9 + 3 می‌شود 12.
2. حالا عبارتم چی شد؟ 48 ÷ 2 (12).
3. نکته: وقتی بین عدد و پرانتز علامتی نیست، یعنی ضرب. پس عبارت واقعی ما این است: 48 ÷ 2 × 12.
4. قانون چپ به راست: حالا یک تقسیم داریم و یک ضرب. کدام اول است؟ چون تقسیم سمت چپ است، اول آن را انجام می‌دهیم.
5. 48 ÷ 2 می‌شود 24.
6. حالا 24 × 12 می‌شود ۲۸۸.

(اگر ماشین‌حساب‌های قدیمی را امتحان کنید شاید عدد ۲ را نشان دهند، چون آن‌ها برنامه‌نویسی‌شان قدیمی است و عدد پشت پرانتز را به کل پرانتز می‌چسبانند، ولی در ریاضیات مدرن جواب علمی ۲۸۸ است).

تمرین ۳: همه چیز در هم!

5 + (4 × 2^3) - 10

مراحل حل:

1. پرانتز: باید بریم داخل پرانتز (4 × 2^3).
2. داخل پرانتز: حالا داخل خود پرانتز هم دعواست! ضرب داریم و توان. اولویت با کیست؟ توان.
   • 2^3 می‌شود 8.
   • حالا داخل پرانتز شده: 4 × 8.
3. ادامه پرانتز: 4 × 8 می‌شود 32.
4. حالا پرانتز تمام شد. عبارت بیرونی چیست؟ 5 + 32 - 10.
5. جمع و تفریق: از چپ به راست.
   • 5 + 32 می‌شود 37.
   • 37 - 10 می‌شود ۲۷.

۳ توصیه برادرانه برای اینکه بی‌دقتی نکنید

من زیاد دیدم دانش‌آموزانی که ریاضی‌شان عالی است اما نمره‌شان ۱۸ می‌شود. چرا؟ فقط به خاطر بی‌دقتی و عجله.

1. حل پلکانی (درخت کریسمس): تنبلی نکنید! سعی نکنید همه مراحل را ذهنی بروید. زیر هر مرحله‌ای که حل می‌کنید خط بکشید و جوابش را بنویسید و بقیه عبارت را عیناً پایین بیاورید. وقتی حل تمام می‌شود، کاغذتان باید شبیه یک مثلث برعکس شده باشد. اینطوری اگر اشتباه کنید، راحت پیدایش می‌کنید.
2. خوش‌خط بنویسید: باور کنید نیمی از غلط‌های محاسباتی به خاطر این است که خودتان دست‌خط خودتان را اشتباه می‌خوانید! عدد ۱ را شبیه ۷ ننویسید، ضربدر را شبیه اکس (x) ننویسید.
3. اگر باز هم گیر می‌کنید…: اشکالی ندارد. ریاضی درسی است که نیاز به قلق‌گیری دارد. اگر حس می‌کنید در پایه‌ها (مثل اعداد منفی، کسرها یا همین اولویت‌ها) مشکل دارید، شاید بد نباشد چند جلسه‌ای از یک معلم خصوصی ریاضی کمک بگیرید تا قبل از اینکه دیر شود، این حفره‌های آموزشی را پر کنید. یک معلم خوب می‌تواند در دو جلسه، ایراداتی که سال‌ها با شما بوده را برطرف کند.

حرف آخر: این قانون به چه درد زندگی می‌خورد؟

شاید بگویید “آقا ما که نمی‌خواهیم ریاضی‌دان شویم”. اما باور کنید اولویت‌های ریاضی قانون بازی با اعداد است. اگر می‌خواهید برنامه‌نویسی یاد بگیرید، اگر می‌خواهید در اکسل (Excel) یک فرمول ساده برای حساب‌کتاب‌های مالی‌تان بنویسید، یا حتی اگر می‌خواهید درصد تخفیف خریدتان را حساب کنید، به این قانون نیاز دارید.

اگر این قانون را بلد باشید، ریاضی برایتان مثل حل جدول شیرین و منطقی می‌شود. اگر نه، همیشه با اعداد دعوا خواهید داشت و فکر می‌کنید ریاضی سخت است. اگر هنوز سوالی دارید یا در حل تمرین‌های کتاب درسی گیر کرده‌اید، حتماً سری به بخش گام به گام و حل تمرین سایت ما بزنید. ما آنجا منتظرتان هستیم تا ریاضی را برایتان آسان کنیم.